*** Distance d'un point à un plan

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~; \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k \right)\) . On considère :

• les points \(\text A(-2~;~ 0~ ;~ 2)\) , \(\text B(-1~ ;~ 3 ~; ~0)\) , \(\text C(1~ ; -1~ ;~ 2)\) et \(\text D (0~;~ 0~; ~3)\)  ;
• la droite \(\mathscr D_1\) dont une représentation paramétrique est \(\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\ \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb R\)  ;
• la droite   \(\mathscr D_2\)   dont une représentation paramétrique est \(\begin{cases}x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\\ \end{cases}\) avec \(s\in\mathbb R\) .

1. Démontrer que les points \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) ne sont pas alignés.

2. a. Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow n \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}\) est orthogonal au plan \((\mathrm{ABC})\) .
    b. Justifier qu'une équation cartésienne du plan \((\mathrm{ABC})\) est \(x +3y +5z -8 = 0\) .
    c. En déduire que les points \(\text A\) , \(\text B\) , \(\text C\) et \(\text D\) ne sont pas coplanaires.

3. a. Justifier que la droite  \(\mathscr D_1\)   est la hauteur du tétraèdre \(\text{ABCD}\) issue de   \(\text D\) . 
On admet que la droite \(\mathscr D_2\)  est la hauteur du tétraèdre \(\text{ABCD}\) issue de \(\text C\) .
    b. Démontrer que les droites \(\mathscr D_1\)  et   \(\mathscr D_2\)  sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

4. a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(\text H\) du point \(\text D\)  sur le plan  \((\mathrm{ABC})\) .
    b. Calculer la distance du point   \(\text D\)   au plan \((\mathrm{ABC})\) . Arrondir le résultat au centième.